• PNAS Physics Portal
  • Science Sessions: The PNAS Podcast Program

Quantum dimer model for the pseudogap metal

  1. Subir Sachdevd,e,1
  1. aInstitute for Theoretical Physics, University of Innsbruck, 6020 Innsbruck, Austria;
  2. bInstitute for Quantum Optics and Quantum Information, Austrian Academy of Sciences, 6020 Innsbruck, Austria;
  3. cPhysics Department, Ludwig-Maximilians-Universität München, 80333 Munich, Germany;
  4. dDepartment of Physics, Harvard University, Cambridge, MA 02138;
  5. ePerimeter Institute for Theoretical Physics, Waterloo, Ontario N2L 2Y5, Canada

  1. Contributed by Subir Sachdev, June 23, 2015 (sent for review May 14, 2015; reviewed by Antoine Georges and Masaki Oshikawa)

  1. Fig. 1.
    View larger version:
    Fig. 1.

    Schematic phase diagram of hole-doped cuprates (apart from those with La doping) as a function of temperature (T) and hole density (p). The antiferromagnetic (AF) insulator is present near <mml:math><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math>p=0, and the d-wave superconductor (dSC) is present below a critical temperature <mml:math><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math>Tc. The pseudogap (PG) is present for <mml:math><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math>T<T* and acquires density wave (DW) order at low T. The metallic states are the PG metal, the conventional Fermi liquid (FL), and the strange metal (SM). The dimer model of the present paper describes only the PG metal as a fractionalized Fermi liquid (FL*).

  2. Fig. 2.
    View larger version:
    Fig. 2.

    A typical dimer configuration identifying a state in the Hilbert space. The blue ellipses are the bosons <mml:math><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>η</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>Diη, which are spinless and neutral. The green rectangles are the fermions <mml:math><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>η</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>Fiηα, which carry spin <mml:math><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>S=1/2 and charge <mml:math><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow></mml:math>+e. The density of the <mml:math><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>η</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>Fiηα dimers is p.

  3. Fig. 3.
    View larger version:
    Fig. 3.

    Terms in the Hamiltonian <mml:math><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mtext>RK</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math>HRK+H1.

  4. Fig. 4.
    View larger version:
    Fig. 4.

    Lowest energy of a single-charge <mml:math><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>η</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>+eFηα fermion as a function of momentum <mml:math><mml:mi mathvariant="bold">k</mml:mi></mml:math>k. We take hopping parameters obtained from the t-J model, <mml:math><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1.05</mml:mn></mml:mrow></mml:math>t1=−1.05, <mml:math><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.95</mml:mn></mml:mrow></mml:math>t2=1.95, and <mml:math><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>0.6</mml:mn></mml:mrow></mml:math>t3=−0.6, at the RK point <mml:math><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math>V=J=1 on a <mml:math><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:math>8×8 lattice with periodic boundary conditions and zero winding numbers. Note that the dispersion is not symmetric about the magnetic Brillouin zone boundary, i.e., across the line connecting <mml:math><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>π</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>(π,0) to <mml:math><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>(0,π). Line cuts of this dispersion are in Fig. 5.

  5. Fig. 5.
    View larger version:
    Fig. 5.

    Line cuts of the dispersion in Fig. 4 (Top) and of the quasiparticle residue in Fig. 6 (Bottom). Also shown are the results from exact diagonalization on a <mml:math><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:math>6×6 lattice for comparison (red squares), which has a different set of allowed momentum points. The overall shape of the dispersion remains the same as for the <mml:math><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:math>8×8 lattice, and the fractional changes to <mml:math><mml:mrow><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>ε(k) are smaller than <mml:math><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn><mml:mtext>%</mml:mtext></mml:mrow></mml:math>5%. The Inset shows the residue between <mml:math><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0,0</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>(0,0) and <mml:math><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>π</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>(π,π) on a logarithmic scale.

  6. Fig. 6.
    View larger version:
    Fig. 6.

    Quasiparticle residue of a charge <mml:math><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow></mml:math>+e fermion computed from Eq. 6 for the parameters in Fig. 4, for a <mml:math><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:math>8×8 lattice. The symmetry of the wave function yields <mml:math><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math>Z(k)=0 for all points between <mml:math><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>π</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>(π,π) and <mml:math><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>π</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>(π,0). Line cuts of <mml:math><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">Z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>Z(k) are in Fig. 5.

Online Impact